第四章 牵引力与挤压力 (Throw & Squeeze)

核心问题：Throw 和 Squeeze 哪个先出现？它们是什么关系？

本章将从碰撞微观过程出发，彻底解答这个问题。结论预告：它们是同时发生的因果并发过程，没有先后之分。

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目录

1. Throw 概述（牵引力）
2. CIT 详解（切入牵引）
3. SIT 详解（旋转牵引）
4. 碰撞微观时间线分析（核心）
5. 速度对 Throw 的影响
6. 顺塞与反塞对 Throw 的影响
7. 齿轮外塞 (GOE)

前置阅读：碰撞力学 | 旋转基础 | 加塞偏移

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1. Throw 概述（牵引力）

Throw（牵引力） 是碰撞中摩擦力使目标球偏离几何理论路径的现象。当白球碰撞目标球时，如果接触面存在切向相对运动，摩擦力就会"拉"目标球偏向一侧。

1.1 两种 Throw 类型

类型	全称	中文名	产生原因
CIT	Collision-Induced Throw	切入牵引	纯粹由碰撞角度产生
SIT	Spin-Induced Throw	旋转牵引	由白球侧旋产生

1.2 Throw 的方向

Throw 使目标球偏向**"更厚"**的方向——即偏向白球来路一侧。直观理解：白球在碰撞中"拉"了目标球一把。

1.3 Throw 的量级

最大 throw 角度约 1-2 度。看似微小，但在长距离上影响显著：

$\Delta x = d \times \tan(\theta_{\text{throw}})$

例如：在 6 英尺（约 1.83m）的距离上，1.5° 的 throw 会造成约 48mm 的偏移——足以让球偏离袋口。

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2. CIT 详解（切入牵引）

2.1 产生机制

CIT 的本质是碰撞接触面上的切向滑动摩擦：

1. 白球斜向碰撞目标球，接触面存在切向相对运动
2. 切向运动产生摩擦力（方向与相对滑动方向相反）
3. 摩擦力使目标球偏离纯法向力（normal force）方向
4. 效果相当于白球"拉"了目标球一把

2.2 CIT 的方向

CIT 使目标球偏向白球来路方向，即偏"厚"。碰撞角越大（越薄），理论路径越偏，CIT 将其拉回"厚"的方向。

2.3 影响因素

因素	影响	说明
切入角	~30° 时效应最大	详见下方分析
球速	速度越快 CIT 越小	高速下摩擦力相对减小
球面清洁度	脏球 CIT 更大	摩擦系数 μ 增大
台呢状态	间接影响	影响球面附着物
全厚碰撞（0°）	无 CIT	无切向滑动分量
极薄碰撞（>60°）	CIT 减小	接触时间过短

2.4 为什么 ~30° 时 CIT 最大？

从力学分解来看，CIT 效应与切向分量和法向分量的乘积成正比：

$F_{\text{CIT}} \propto \sin\theta \cdot \cos\theta = \frac{\sin 2\theta}{2}$

数学上 $\sin 2\theta$ 在 $\theta = 45°$ 时最大。但考虑到实际碰撞中接触时间随角度增大而缩短的因素（修正系数），峰值下移至约 30° 附近。

实战意义：当你打 ~30° 的半球角度时，CIT 的影响最大，需要特别注意补偿。

2.5 图示 P-11：CIT 切入牵引

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3. SIT 详解（旋转牵引）

3.1 产生机制

SIT 由白球的**侧旋（side spin）**在碰撞中产生：

1. 白球带侧旋碰撞目标球
2. 在接触面上，白球的旋转产生额外的切向力
3. 这个切向力使目标球偏离几何路径

3.2 方向规则

白球加塞	目标球偏移方向	助记
左塞	目标球偏右	白球逆时针旋转 → "推"目标球向右
右塞	目标球偏左	白球顺时针旋转 → "推"目标球向左

齿轮类比：想象白球和目标球是两个啮合的齿轮。白球的旋转方向会"带动"目标球。左塞（逆时针）让接触面向右运动，推动目标球偏右。

3.3 旋转传递

碰撞中白球的侧旋可以部分传递给目标球：

• 白球左旋 → 目标球获得右旋（反向旋转）
• 白球右旋 → 目标球获得左旋
• 传递量取决于碰撞角度和白球旋转量
• 这种传递显著影响目标球碰库后的反弹角度

3.4 图示 P-12：SIT 旋转牵引

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4. 碰撞微观时间线分析（核心）★

这是本章最核心的内容。回答关键问题：Throw 和 Squeeze 谁先出现？

4.1 什么是 Squeeze？

Squeeze（挤压力） 不是某种独立于碰撞的特殊力。它就是碰撞过程中球体形变产生的法向力（normal force）本身。当两球相撞，球体在接触区域被压缩形变，弹性恢复力就是 squeeze——挤压力。

4.2 碰撞的微观过程

整个碰撞持续约 0.1 - 0.3 毫秒（远快于人眼可观察的时间尺度）。

Phase 1 — 压缩阶段 (Compression Phase)

时刻	事��
$t_0$	球体首次接触，接触面积为零
$t_0 \to t_1$	球体形变增大，接触面积增大
全程	法向力从零递增
全程	接触面出现切向相对运动 → 摩擦力同步出现

关键点：

• Squeeze = 法向力本身，从球体接触的瞬间（$t_0$）开始递增
• Throw = 摩擦力的效果，随法向力同步出现（因为 $F_{\text{friction}} = \mu \times F_{\text{normal}}$）

Phase 2 — 最大形变点 (Maximum Deformation)

时刻 $t_1$	状态
法向力	达到峰值
接触面积	最大（约 1-2mm 直径的圆形区域）
球体形变量	约 0.01 - 0.02mm
摩擦力	也达到最大

Phase 3 — 恢复阶段 (Restitution Phase)

时刻	事件
$t_1 \to t_2$	球体弹性恢复，法向力递减
全程	接触面积缩小，摩擦力同步递减
$t_2$	球体分离，碰撞结束

4.3 核心结论

Squeeze 和 Throw 是同时发生的因果并发过程，没有先后之分。

具体关系：

$\boxed{F_{\text{squeeze}}(\text{法向力}) \xrightarrow{\text{同一瞬间}} F_{\text{friction}} = \mu \cdot F_{\text{normal}} \xrightarrow{\text{产生}} \text{Throw（偏移）}}$

• Squeeze 产生法向力 → 法向力产生摩擦力 → 摩擦力产生 Throw
• 没有 Squeeze 就没有 Throw
• 它们是同一碰撞过程的两个不同方面
• Squeeze 是因（法向力的来源），Throw 是果（摩擦力的表现）
• 但因果之间没有时间延迟——法向力存在的每一个瞬间，摩擦力同时存在

类比：推一本放在桌上的书——你的手推书（法向力 / squeeze），书底部与桌面产生摩擦（throw）。推力和摩擦力是同时存在的，不存在"先推后摩擦"。

4.4 时序图 M-02：碰撞过程

4.5 图示 P-13：力-时间曲线（核心图示）★

这是本章最重要的图——它直观展示了 Squeeze（法向力）和 Throw（摩擦力）在碰撞全程的时间关系。

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图示解读：

• 红色曲线（法向力 / Squeeze）呈钟形分布——从零上升至峰值再回到零
• 蓝色曲线（摩擦力 / 产生 Throw）与法向力严格成比例，形状相同但幅度较小
• 两条曲线同时起始、同时消失——这就是为什么说 Squeeze 和 Throw 没有先后之分
• 摩擦力始终等于 $\mu \times F_{\text{normal}}$，其中 $\mu \approx 0.03 - 0.06$（球间摩擦系数）

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5. 速度对 Throw 的影响

5.1 基本规律

速度越快 → throw 效应越小。

5.2 原因分析

1. 接触时间缩短：高速碰撞的接触时间更短，摩擦力的作用时间减少，冲量（impulse）降低
2. 动摩擦接管：高速碰撞可能使切向力超过静摩擦极限，进入动摩擦区域。动摩擦系数 $\mu_k$ 小于静摩擦系数 $\mu_s$
3. 弹性形变特性：高速碰撞下球体形变更接近纯弹性，法向力变化更快

$\text{Throw 偏移} \propto \frac{\mu \cdot F_{\text{normal}} \cdot \Delta t}{m \cdot v}$

其中 $\Delta t$ 随速度增大而减小，使整体 throw 效果降低。

5.3 实战应用

场景	球速	Throw 影响	策略
大力清台	快	小	可减少 throw 补偿
轻推进球	慢	大	需充分考虑 throw
中力走位	中	中	按经验补偿

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6. 顺塞与反塞对 Throw 的影响

6.1 顺塞 (Running Side / Running English)

定义：使白球碰库后角度增大的加塞方向。

对 throw 的影响：

• SIT 方向与 CIT 方向相反
• 两者部分抵消 → 净 throw 减小
• 进球精度更高（throw 干扰小）
• 同时让白球碰库后角度增大（开角）

6.2 反塞 (Check Side / Reverse English)

定义：使白球碰库后角度减小的加塞方向。

对 throw 的影响：

• SIT 方向与 CIT 方向相同
• 两者叠加 → 净 throw 增大
• 需要更多的瞄准补偿
• 同时让白球碰库后角度减小（收角）

6.3 数学表示

$\text{净 Throw} = \text{CIT} \pm \text{SIT}$

加塞类型	公式	结果
顺塞	净 Throw = CIT - SIT	throw 减小
反塞	净 Throw = CIT + SIT	throw 增大
无塞	净 Throw = CIT	只有 CIT

6.4 图示 P-14：顺塞/反塞叠加效果

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7. 齿轮外塞 (Gearing Outside English / GOE)

7.1 定义

GOE（Gearing Outside English） 是一个特殊的加塞量，使得 SIT 恰好完全抵消 CIT，令净 throw 为零。

$\text{SIT} = \text{CIT} \implies \text{净 Throw} = 0$

此时目标球沿纯几何路径运动——就好像 throw 不存在一样。

7.2 GOE 的加塞量

GOE 所需的加塞量取决于切入角 $\theta$：

$\omega_{\text{GOE}} \propto \sin\theta$

• 切入角越大（越薄），需要的 GOE 加塞量越大
• 全厚碰撞时不需要 GOE（因为没有 CIT）
• 约在切入角的正弦值比例处

7.3 实战应用

场景	是否使用 GOE
远距离精确进球	优先考虑 GOE 消除 throw
需要特定走位	可能需要偏离 GOE 以获得侧旋走位
大力击打	throw 已经很小，GOE 不太必要
比赛中的关键球	GOE 提供最高进球精度

7.4 GOE 与齿轮啮合

"齿轮"这个名字很形象：当白球的旋转使接触面像齿轮一样无滑动啮合时，切向摩擦力为零，throw 被消除。这就是"齿轮外塞"名称的由来。

$v_{\text{tangential, cue ball}} = \omega \cdot r = v_{\text{tangential, contact}}$

当白球在接触点的切向旋转速度恰好等于碰撞的切向滑动速度时，两者抵消，无净滑动，无摩擦力，无 throw。

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本章总结

核心要点

1. Throw（牵引力） 分为 CIT（切入牵引）和 SIT（旋转牵引）两种
2. Squeeze（挤压力） 就是碰撞中的法向力
3. Squeeze 和 Throw 同时发生——法向力存在的每个瞬间，摩擦力同步存在
4. 速度越快 → throw 越小
5. 顺塞减小 throw，反塞增大 throw
6. GOE 可以完全消除 throw

实战检查表

• 碰撞角度约 30° 时——throw 最大，需要最多补偿
• 轻推慢球时——throw 影响大，仔细瞄准
• 使用顺塞时——throw 被部分抵消，进球更准
• 使用反塞时——throw 叠加增大，需额外补偿
• 远距离进球——考虑使用 GOE 消除 throw

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后续阅读：库边反弹 | 台呢摩擦